Rodák z Popradu se do svých 15 let věnoval závodně plavání. Kvůli zranění a svému vzrůstu ale náhle v období dospívání přešel k volejbalu. Brzy se ukázalo, že šlo o správnou volbu. Přes domácí Junior 2012 Poprad a sportovní centrum v Trenčíně se dostal v roce 2021 do bratislavského VKP, což znamenalo zlom v jeho kariéře. Právě tam se postupně zařadil mezi klíčové postavy týmu, který se v posledních letech stal nejsilnější značkou slovenské klubové scény. Andrej Billich již ve své druhé sezoně 2022–23 získal s Bratislavou první mistrovský titul a patřil mezi opory týmu. Ve svých 20 letech se stal nejlépe blokujícím hráčem soutěže a tuto statistiku ovládl celkem čtyři sezony za sebou. Celkem tak za poslední čtyři sezony nastřádal 376 bodových bloků.

I díky jeho přínosu sbírala Bratislava týmové úspěchy. Třikrát v řadě triumfovala ve Slovenském poháru (2024–26), další mistrovský titul v roce 2025 a těsně pod vrcholem skončil Slovan v uplynulém ročníku, v němž podlehl ve finále extraligy Komárnu. Výraznou kapitolu napsal Billich se svým klubem v uplynulé sezoně v evropských pohárech. Slovan Bratislava se v Challenge Cupu postaral o velké překvapení, když v osmifinále vyřadil Duklu Liberec. Doma Slovan otočil pětisetovou bitvu a v odvetě v Liberci zvítězil 3:1. Billich patřil k hlavním postavám postupu – v Liberci zapsal 13 bodů, z toho osm bloků, a právě jeho blok ukončil postupový zápas. Bratislavský tým se tím nezastavil. Ve čtvrtfinále přešel přes Maccabi Tel Aviv a jako první slovenský mužský tým v novodobé historii postoupil mezi čtyři nejlepší celky Challenge Cupu. V semifinále Slovan dvakrát těsně padl s belgickým Aalstem 2:3, přesto šlo o jeden z největších výsledků slovenského klubového volejbalu posledních let.

Billich je zároveň oporou slovenské reprezentace. V kvalifikaci o mistrovství Evropy 2026 obsadil mezi všemi blokaři třetí místo, když zaznamenal 13 bloků s průměrem 0,93 bloku na set. Jeho výkony se promítly také do ankety Volejbalista roku na Slovensku. Za rok 2024 skončil pátý, v uplynulém roce 2025 se posunul už na čtvrté místo. Po pěti sezonách v Bratislavě tak Billich udělá logický další krok. Slovenskou ligu na svém postu výrazně přerostl a přesouvá se do kvalitnější české extraligy, kde bude chtít potvrdit pověst jednoho z nejlepších slovenských blokařů současnosti. V Jihostroji se potká se svým krajanem Jakubem Ihnátem.

Hodnocení Roberta Mifky, generálního manažera Českých Budějovic: „Andrej je typ hráče, který nám přesně zapadá do představy o posílení středu sítě. Má ideální parametry, výborný timing na bloku a zároveň už dost zkušeností z reprezentace i evropských pohárů. Přitom je mu stále teprve 24 let. Že byl čtyři sezony po sobě nejlepším blokařem na Slovensku, není náhoda. Věříme, že po přechodu do kvalitnější soutěže má prostor se ještě dál posunout a stát se naším důležitým hráčem.“