Místem Žáčkova narození byly Dobešice na Písecku. Nikoli však ty u obce Kluky, jak uvádějí některé zdroje, ale drobná osada severozápadně od Písku při pražské silnici, která se rozprostírala v sousední dochovaného hospodářského dvora. Narodil se 13. ledna 1886 do rodiny drážního hlídače a pokřtěn byl v píseckém kostele. Rodina se však záhy přestěhovala do Protivína, kde malý August vyrůstal a kde také vychodil obecnou školu. V letech 1897–1905 navštěvoval v Českých Budějovicích tehdejší české vyšší gymnázium (dnešní Gymnázium Jana Valeriána Jirsíka). Patřil k velmi nadaným studentům a odmaturoval s vyznamenáním.

Po maturitě odešel studovat matematiku a fyziku na pražskou univerzitu. V roce 1910 se stal asistentem tamního Fyzikálního ústavu, kde následně strávil celý svůj profesní život. V roce 1918 se habilitoval, tedy získal titul docent, a v roce 1921 se stal profesorem v oboru experimentální fyziky. Zároveň působil na nově založené Přírodovědecké fakultě, kde byl ve třicátých letech chvíli děkanem. Fyziku přednášel rovněž pro mediky a farmaceuty.

Odborně se August Žáček zabýval především elektronikou, aplikovanou elektrotechnikou a termodynamikou. Spolupracoval s odbornými technickými svazy v zemi, byl členem Československé akademie věd a umění, publikoval v českých i zahraničních časopisech a vydával knihy. Byl samozřejmě v kontaktu se zahraničními vědci podobného zájmu a nějaký čas strávil na studijním pobytu na věhlasné univerzitě v německém Göttingen.

Žáčkův význam v dějinách české vědy je obrovský a vedle výuky dalších generací na univerzitě spočívá zejména ve dvou oblastech. Svými experimenty v radiografii se podílel na zkouškách prvního zvukového bezdrátového přenosu v Československu a přispěl tak zásadně ke vzniku pravidelného rozhlasového vysílání u nás v roce 1923.

Druhou oblastí byly pokusy s elektromagnetickým zářením vedoucí k vynálezu magnetronu, který si nechal v listopadu 1926 patentovat. Jedná se o součástku, která generuje mikrovlnné záření. Pozdější zdokonalování Žáčkova vynálezu v zahraničí vedlo k sestrojení radaru, vojenského radiolokátoru a také mikrovlnné trouby.

Po nástupu komunistů k moci byl Žáček nuceně penzionován a musel se stáhnout z vědeckého života. Po úmrtí v roce 1961 byl pohřben do rodinné hrobky v Protivíně.